$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Coordonnées des points (Lecture graphique) :} \\ A(1; 2), \quad B(-1; -3), \quad C(4; -1), \quad D(0; 3), \quad E(-3; 0). \\ \text{Les points de base du repère sont : } I(1; 0) \, \text{et} \, J(0; 1). \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Placement des points :} \\ \text{Les points } F(3;1), \, G(-2;4), \, H(5;0), \, L(0;-2) \text{ et } M(-5,5;-4,25) \\ \text{sont à placer directement sur le repère de l’exercice.} \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Calcul des coordonnées des vecteurs :} \\ \text{On utilise la relation : } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A). \\ \text{Pour } \overrightarrow{AB} : \text{On remplace par } (-1 – 1 ; -3 – 2), \text{ donc } \mathbf{\overrightarrow{AB}(-2 ; -5)}. \\ \text{Pour } \overrightarrow{AC} : \text{On remplace par } (4 – 1 ; -1 – 2), \text{ donc } \mathbf{\overrightarrow{AC}(3 ; -3)}. \\ \text{Pour } \overrightarrow{BC} : \text{On remplace par } (4 – (-1) ; -1 – (-3)), \text{ donc } \mathbf{\overrightarrow{BC}(5 ; 2)}. \\ \text{Pour } \overrightarrow{BE} : \text{On remplace par } (-3 – (-1) ; 0 – (-3)), \text{ donc } \mathbf{\overrightarrow{BE}(-2 ; 3)}. \\ \text{Pour } \overrightarrow{CD} : \text{On remplace par } (0 – 4 ; 3 – (-1)), \text{ donc } \mathbf{\overrightarrow{CD}(-4 ; 4)}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Coordonnées des points } P, Q \text{ et } S : \\ \text{Pour le point } P : \\ \text{On sait que } \overrightarrow{OP}(x_P – x_O ; y_P – y_O) = (4;2). \\ \text{Puisque l’origine est } O(0;0), \text{ on remplace : } x_P – 0 = 4 \text{ et } y_P – 0 = 2. \\ \text{On obtient directement } \mathbf{P(4;2)}. \\ \\ \text{Pour le point } Q : \\ \text{On sait que } \overrightarrow{PQ}(x_Q – x_P ; y_Q – y_P) = (-4;4). \\ \text{On remplace avec } P(4;2) : x_Q – 4 = -4 \text{ et } y_Q – 2 = 4. \\ \text{Alors } x_Q = -4 + 4 = 0 \text{ et } y_Q = 4 + 2 = 6. \\ \text{D’où le point } \mathbf{Q(0;6)}. \\ \\ \text{Pour le point } S : \\ \text{On sait que } \overrightarrow{QS}(x_S – x_Q ; y_S – y_Q) = (-2;-2). \\ \text{On remplace avec } Q(0;6) : x_S – 0 = -2 \text{ et } y_S – 6 = -2. \\ \text{Alors } x_S = -2 \text{ et } y_S = -2 + 6 = 4. \\ \text{D’où le point } \mathbf{S(-2;4)}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On a } \overrightarrow{AB}(a;5), \, \overrightarrow{DC}(-3;b-7), \, \overrightarrow{EF}(5+\frac{x}{2};3) \text{ et } \overrightarrow{MN}(2;3-y). \\ \\ \mathbf{1)} \, \text{Calcul de } a \text{ et } b \text{ pour que } \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : \\ \text{Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées.} \\ \text{L’égalité des abscisses donne : } a = -3. \\ \text{L’égalité des ordonnées donne : } 5 = b – 7. \\ \text{Alors } b = 5 + 7 = 12. \\ \text{Donc on a } \mathbf{a = -3 \text{ et } b = 12}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Calcul de } x \text{ et } y \text{ pour que } \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{MN} : \\ \text{L’égalité des abscisses donne : } 5 + \frac{x}{2} = 2. \\ \text{Alors } \frac{x}{2} = 2 – 5 = -3. \\ \text{Donc } x = -3 \times 2 = -6. \\ \text{L’égalité des ordonnées donne : } 3 = 3 – y. \\ \text{Alors } y = 3 – 3 = 0. \\ \text{Donc on a } \mathbf{x = -6 \text{ et } y = 0}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On a } E(4;3), \, F(-2;2), \, G(-5;1) \text{ et } H(10;4). \\ \\ \mathbf{1)} \, \text{Calcul des coordonnées du point } A \text{ tel que } \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{GF} : \\ \text{On calcule les coordonnées de } \overrightarrow{GF} : \overrightarrow{GF}(-2 – (-5) ; 2 – 1) = \overrightarrow{GF}(3 ; 1). \\ \text{On écrit les coordonnées de } \overrightarrow{EA} : \overrightarrow{EA}(x_A – 4 ; y_A – 3). \\ \text{L’égalité } \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{GF} \text{ donne les équations : } \\ x_A – 4 = 3 \text{ et } y_A – 3 = 1. \\ \text{Alors } x_A = 3 + 4 = 7 \text{ et } y_A = 1 + 3 = 4. \\ \text{D’où le point } \mathbf{A(7 ; 4)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Calcul des coordonnées de } B \text{ pour que } EFGB \text{ soit un parallélogramme :} \\ \text{Si } EFGB \text{ est un parallélogramme, alors on a l’égalité : } \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BG}. \\ \text{On calcule } \overrightarrow{EF} : \overrightarrow{EF}(-2 – 4 ; 2 – 3) = \overrightarrow{EF}(-6 ; -1). \\ \text{On écrit } \overrightarrow{BG} : \overrightarrow{BG}(-5 – x_B ; 1 – y_B). \\ \text{On pose les équations : } -5 – x_B = -6 \text{ et } 1 – y_B = -1. \\ \text{Alors } x_B = -5 + 6 = 1 \text{ et } y_B = 1 + 1 = 2. \\ \text{D’où le point } \mathbf{B(1 ; 2)}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Calcul des coordonnées du point } C, \text{ image de } G \text{ par la translation de vecteur } \overrightarrow{BF} : \\ \text{La définition de la translation donne la relation : } \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{BF}. \\ \text{On calcule } \overrightarrow{BF} : \overrightarrow{BF}(-2 – 1 ; 2 – 2) = \overrightarrow{BF}(-3 ; 0). \\ \text{On écrit } \overrightarrow{GC} : \overrightarrow{GC}(x_C – (-5) ; y_C – 1) = \overrightarrow{GC}(x_C + 5 ; y_C – 1). \\ \text{On pose les équations : } x_C + 5 = -3 \text{ et } y_C – 1 = 0. \\ \text{Alors } x_C = -3 – 5 = -8 \text{ et } y_C = 0 + 1 = 1. \\ \text{D’où le point } \mathbf{C(-8 ; 1)}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Montrer que } AHBF \text{ est un parallélogramme :} \\ \text{On calcule les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AH} : \\ \overrightarrow{AH}(10 – 7 ; 4 – 4) = \mathbf{\overrightarrow{AH}(3 ; 0)}. \\ \text{On calcule les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{FB} : \\ \overrightarrow{FB}(1 – (-2) ; 2 – 2) = \mathbf{\overrightarrow{FB}(3 ; 0)}. \\ \text{On remarque que } \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{FB}. \\ \text{Puisque les deux vecteurs sont égaux, alors } \mathbf{AHBF \text{ est un parallélogramme}}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Calcul des coordonnées de } M \text{ milieu de } [AB] \text{ dans chaque cas :} \\ \text{La relation est : } x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \text{ et } y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}. \\ \\ \text{Pour le cas } \mathbf{a)} \, A(2;3) \text{ et } B(6;-1) : \\ x_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \text{ et } y_M = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1. \\ \text{Le milieu est } \mathbf{M(4 ; 1)}. \\ \\ \text{Pour le cas } \mathbf{b)} \, A(12;1) \text{ et } B(-2;5) : \\ x_M = \dfrac{12 + (-2)}{2} = 5 \text{ et } y_M = \dfrac{1 + 5}{2} = 3. \\ \text{Le milieu est } \mathbf{M(5 ; 3)}. \\ \\ \text{Pour le cas } \mathbf{c)} \, A(-3;2) \text{ et } B(3;-2) : \\ x_M = \dfrac{-3 + 3}{2} = 0 \text{ et } y_M = \dfrac{2 + (-2)}{2} = 0. \\ \text{Le milieu est } \mathbf{M(0 ; 0)} \text{ (C’est l’origine du repère)}. \\ \\ \text{Pour le cas } \mathbf{d)} \, A(3/2;0) \text{ et } B(-1;2) : \\ x_M = \dfrac{3/2 – 1}{2} = \dfrac{1/2}{2} = \dfrac{1}{4} \text{ et } y_M = \dfrac{0 + 2}{2} = 1. \\ \text{Le milieu est } \mathbf{M\left(\dfrac{1}{4} ; 1\right)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{On a } M(-1;-2) \text{ et } N(3;-2). \\ \mathbf{a)} \, \text{Montrer que le point } K(1;-2) \text{ est le milieu de } [MN] : \\ \text{On calcule les coordonnées du milieu de } [MN] : \\ \dfrac{x_M + x_N}{2} = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1. \\ \dfrac{y_M + y_N}{2} = \dfrac{-2 + (-2)}{2} = -2. \\ \text{Les coordonnées trouvées correspondent à celles de } K. \\ \text{Donc } \mathbf{K(1;-2) \text{ est bien le milieu de } [MN]}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Coordonnées de } L \text{ symétrique de } M \text{ par rapport à } N : \\ \text{Cela signifie que } N \text{ est le milieu du segment } [ML]. \\ \text{Les relations sont : } x_N = \dfrac{x_M + x_L}{2} \text{ et } y_N = \dfrac{y_M + y_L}{2}. \\ \text{On remplace : } 3 = \dfrac{-1 + x_L}{2} \text{ et } -2 = \dfrac{-2 + y_L}{2}. \\ \text{Alors } -1 + x_L = 6 \text{ donc } x_L = 7. \\ \text{Et } -2 + y_L = -4 \text{ donc } y_L = -2. \\ \text{D’où le point } \mathbf{L(7 ; -2)}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Coordonnées de } P \text{ symétrique de } L \text{ par rapport à } I : \\ \text{L’origine du repère }(O,I,J)\text{, le point } I \text{ a pour coordonnées } (1;0). \\ \text{Cela signifie que } I \text{ est le milieu du segment } [LP]. \\ \text{Les relations sont : } x_I = \dfrac{x_L + x_P}{2} \text{ et } y_I = \dfrac{y_L + y_P}{2}. \\ \text{On remplace : } 1 = \dfrac{7 + x_P}{2} \text{ et } 0 = \dfrac{-2 + y_P}{2}. \\ \text{Alors } 7 + x_P = 2 \text{ donc } x_P = -5. \\ \text{Et } -2 + y_P = 0 \text{ donc } y_P = 2. \\ \text{D’où le point } \mathbf{P(-5 ; 2)}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On considère les points } M(-5;1), \, N(-3;4), \, P(3;2) \text{ et } Q(1;-1). \\ \\ \mathbf{a)} \, \text{Montrons que } MNPQ \text{ est un parallélogramme :} \\ \text{On calcule les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{MN} : \\ \text{La relation est : } \overrightarrow{MN}(x_N – x_M ; y_N – y_M). \\ \text{On remplace : } \overrightarrow{MN}(-3 – (-5) ; 4 – 1). \\ \text{On obtient : } \mathbf{\overrightarrow{MN}(2 ; 3)}. \\ \\ \text{On calcule les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{QP} : \\ \text{La relation est : } \overrightarrow{QP}(x_P – x_Q ; y_P – y_Q). \\ \text{On remplace : } \overrightarrow{QP}(3 – 1 ; 2 – (-1)). \\ \text{On obtient : } \mathbf{\overrightarrow{QP}(2 ; 3)}. \\ \\ \text{On remarque que } \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}. \\ \text{Puisque ces deux vecteurs sont égaux, alors } \mathbf{MNPQ \text{ est un parallélogramme}}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Déterminons les coordonnées de son centre } K : \\ \text{Le centre d’un parallélogramme est le milieu de ses diagonales. Soit } K \text{ le milieu de } [MP]. \\ \text{Les relations sont : } x_K = \dfrac{x_M + x_P}{2} \text{ et } y_K = \dfrac{y_M + y_P}{2}. \\ \text{On remplace : } x_K = \dfrac{-5 + 3}{2} \text{ et } y_K = \dfrac{1 + 2}{2}. \\ \text{Alors } x_K = \dfrac{-2}{2} = -1 \text{ et } y_K = \dfrac{3}{2} = 1,5. \\ \text{D’où le centre est le point } \mathbf{K(-1 ; 1,5)}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On considère les points } A(-5;2), \, B(4;-1) \text{ et } C(-2;5). \\ \\ \mathbf{1)} \, \text{Calcul des distances } AB, AC \text{ et } BC : \\ \text{Pour la distance } AB : \\ \text{La relation est : } AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}. \\ \text{On remplace : } AB = \sqrt{(4 – (-5))^2 + (-1 – 2)^2}. \\ \text{Alors } AB = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9}. \\ \text{D’où } \mathbf{AB = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}}. \\ \\ \text{Pour la distance } AC : \\ \text{La relation est : } AC = \sqrt{(x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2}. \\ \text{On remplace : } AC = \sqrt{(-2 – (-5))^2 + (5 – 2)^2}. \\ \text{Alors } AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9}. \\ \text{D’où } \mathbf{AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}}. \\ \\ \text{Pour la distance } BC : \\ \text{La relation est : } BC = \sqrt{(x_C – x_B)^2 + (y_C – y_B)^2}. \\ \text{On remplace : } BC = \sqrt{(-2 – 4)^2 + (5 – (-1))^2}. \\ \text{Alors } BC = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36}. \\ \text{D’où } \mathbf{BC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{En déduire la nature du triangle } ABC : \\ \text{On calcule le carré des distances pour vérifier le théorème de Pythagore : } \\ AB^2 = (\sqrt{90})^2 = 90 \\ AC^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \\ BC^2 = (\sqrt{72})^2 = 72 \\ \text{On remarque que } 18 + 72 = 90. \\ \text{Ce qui s’écrit : } AC^2 + BC^2 = AB^2. \\ \text{Puisque cette égalité est vérifiée, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, } \\ \text{alors } \mathbf{le \ triangle \ ABC \ est \ rectangle \ en \ C}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On considère } A(-3;0), \, B(2;1), \, C(4;3) \text{ et } D(-1;2). \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Placer les points } A, B, C \text{ et } D : \\ \text{Les points sont à placer directement sur le repère.} \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Démontrer que les segments } [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu :} \\ \text{Soit } M \text{ le milieu de } [AC]. \\ \text{Les relations sont : } x_M = \dfrac{x_A + x_C}{2} \text{ et } y_M = \dfrac{y_A + y_C}{2}. \\ \text{On remplace : } x_M = \dfrac{-3 + 4}{2} = 0,5 \text{ et } y_M = \dfrac{0 + 3}{2} = 1,5. \\ \text{Donc le milieu de } [AC] \text{ est le point } (0,5 ; 1,5). \\ \\ \text{Soit } N \text{ le milieu de } [BD]. \\ \text{Les relations sont : } x_N = \dfrac{x_B + x_D}{2} \text{ et } y_N = \dfrac{y_B + y_D}{2}. \\ \text{On remplace : } x_N = \dfrac{2 + (-1)}{2} = 0,5 \text{ et } y_N = \dfrac{1 + 2}{2} = 1,5. \\ \text{Donc le milieu de } [BD] \text{ est le point } (0,5 ; 1,5). \\ \text{Conclusion : } \mathbf{Les \ segments \ [AC] \ et \ [BD] \ ont \ bien \ le \ même \ milieu}. \\ \\ \mathbf{5)} \, \text{Montrer que le triangle } OBD \text{ est rectangle et isocèle :} \\ \text{L’origine du repère est } O(0;0). \\ \text{On calcule les carrés des distances : } \\ OB^2 = (2 – 0)^2 + (1 – 0)^2 = 4 + 1 = 5. \\ OD^2 = (-1 – 0)^2 + (2 – 0)^2 = 1 + 4 = 5. \\ BD^2 = (-1 – 2)^2 + (2 – 1)^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10. \\ \text{Premièrement, on a } OB^2 = OD^2 = 5, \text{ alors } OB = OD. \text{ Le triangle est isocèle en } O. \\ \text{Deuxièmement, on remarque que } OB^2 + OD^2 = 5 + 5 = 10 = BD^2. \\ \text{D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en } O. \\ \text{Conclusion : le triangle } OBD \text{ est } \mathbf{rectangle \ et \ isocèle \ en \ O}. \\ \\ \mathbf{6)} \, \text{Déterminer les coordonnées de } E \text{ (où } BODE \text{ est un parallélogramme) :} \\ \text{Si } BODE \text{ est un parallélogramme, alors on a l’égalité vectorielle : } \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BE}. \\ \text{On a } \overrightarrow{OD}(-1 – 0 ; 2 – 0) \text{ donc } \overrightarrow{OD}(-1 ; 2). \\ \text{On a } \overrightarrow{BE}(x_E – x_B ; y_E – y_B) \text{ donc } \overrightarrow{BE}(x_E – 2 ; y_E – 1). \\ \text{On pose les équations : } x_E – 2 = -1 \text{ et } y_E – 1 = 2. \\ \text{Alors } x_E = -1 + 2 = 1 \text{ et } y_E = 2 + 1 = 3. \\ \text{D’où le point est } \mathbf{E(1 ; 3)}. \\ \\ \mathbf{7)} \, \text{Calculer la distance } AE : \\ \text{La relation est : } AE = \sqrt{(x_E – x_A)^2 + (y_E – y_A)^2}. \\ \text{On remplace : } AE = \sqrt{(1 – (-3))^2 + (3 – 0)^2}. \\ \text{Alors } AE = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9}. \\ \text{D’où } \mathbf{AE = \sqrt{25} = 5}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{On a } A(-2;1), \, B(4;3) \text{ et } C(-1;-2). \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Placer les points } A, B \text{ et } C : \\ \text{Les points sont à placer directement sur le repère.} \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Déterminer les coordonnées de } \overrightarrow{AB} \text{ puis calculer la distance } AB : \\ \text{La relation est : } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A). \\ \text{On remplace : } \overrightarrow{AB}(4 – (-2) ; 3 – 1). \\ \text{On obtient : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(6 ; 2)}. \\ \text{La relation de la distance est : } AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2}. \\ \text{On remplace : } AB = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}. \\ \text{D’où } \mathbf{AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}}. \\ \\ \mathbf{5)} \, \text{Calculer les coordonnées de } K \text{ milieu de } [BC] : \\ \text{Les relations sont : } x_K = \dfrac{x_B + x_C}{2} \text{ et } y_K = \dfrac{y_B + y_C}{2}. \\ \text{On remplace : } x_K = \dfrac{4 + (-1)}{2} = 1,5 \text{ et } y_K = \dfrac{3 + (-2)}{2} = 0,5. \\ \text{D’où le point } \mathbf{K(1,5 ; 0,5)}. \\ \\ \mathbf{6)} \, \text{Calculer les coordonnées de } D \text{ symétrique de } A \text{ par rapport à } K : \\ \text{Cela signifie que } K \text{ est le milieu du segment } [AD]. \\ \text{Les relations sont : } x_K = \dfrac{x_A + x_D}{2} \text{ et } y_K = \dfrac{y_A + y_D}{2}. \\ \text{On remplace : } 1,5 = \dfrac{-2 + x_D}{2} \text{ et } 0,5 = \dfrac{1 + y_D}{2}. \\ \text{Alors } -2 + x_D = 3 \text{ donc } x_D = 5. \\ \text{Et } 1 + y_D = 1 \text{ donc } y_D = 0. \\ \text{D’où le point } \mathbf{D(5 ; 0)}. \\ \\ \mathbf{7)} \, \text{Montrer que le quadrilatère } ABDC \text{ est un rectangle :} \\ \text{On sait que } K \text{ est le milieu de } [BC] \text{ (diagonale) et le milieu de } [AD] \text{ (diagonale)}. \\ \text{Puisque les diagonales ont le même milieu, alors } ABDC \text{ est un parallélogramme.} \\ \text{Calculons la distance } BC \text{ (diagonale) :} \\ BC = \sqrt{(-1 – 4)^2 + (-2 – 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}. \\ \text{Calculons la distance } AD \text{ (diagonale) :} \\ AD = \sqrt{(5 – (-2))^2 + (0 – 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}. \\ \text{On remarque que } BC = AD. \\ \text{Puisque c’est un parallélogramme avec des diagonales de même longueur, } \\ \text{alors } \mathbf{ABDC \text{ est un rectangle}}. \\ \\ \mathbf{8)} \, \text{Montrer que les points } A, B, C, D \text{ appartiennent à un même cercle (C) :} \\ \text{Puisque } ABDC \text{ est un rectangle, ses sommets appartiennent au cercle circonscrit} \\ \text{dont le centre est le point d’intersection de ses diagonales } K. \\ \text{Donc le centre du cercle est } \mathbf{K(1,5 ; 0,5)}. \\ \text{Le rayon } r \text{ est la moitié de la diagonale : } r = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{\sqrt{50}}{2}. \\ \text{On peut simplifier : } r = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}. \\ \\ \mathbf{9)} \, \text{Calculer les coordonnées de } E, \text{ image de } A \text{ par la translation de vecteur } \overrightarrow{BC} : \\ \text{La définition de la translation donne la relation : } \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}. \\ \text{On calcule } \overrightarrow{BC} : \overrightarrow{BC}(-1 – 4 ; -2 – 3) = \overrightarrow{BC}(-5 ; -5). \\ \text{On écrit } \overrightarrow{AE} : \overrightarrow{AE}(x_E – (-2) ; y_E – 1) = \overrightarrow{AE}(x_E + 2 ; y_E – 1). \\ \text{On pose les équations : } x_E + 2 = -5 \text{ et } y_E – 1 = -5. \\ \text{Alors } x_E = -5 – 2 = -7 \text{ et } y_E = -5 + 1 = -4. \\ \text{D’où le point } \mathbf{E(-7 ; -4)}. \end{array} $$