$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A) \\ \overrightarrow{AB}(-3 – 1 ; 1 – 3). \text{ Donc : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(-4 ; -2)}. \\ \\ \text{Calcul de la distance } AB : \\ \text{Rappel: } AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \\ AB = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}. \text{ On trouve } AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}. \\ \text{D’où : } \mathbf{AB = 2\sqrt{5}}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Coefficient directeur } m \text{ de } (AB) : \\ \text{Rappel: } m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} \\ m = \dfrac{1 – 3}{-3 – 1} = \dfrac{-2}{-4}. \text{ Ce qui donne : } \mathbf{m = \dfrac{1}{2}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \mathbf{a)} \, \text{Equation de } (\Delta) \perp (AB) : \\ \text{Rappel: Si deux droites sont perpendiculaires, } m \times m’ = -1. \\ m_{(\Delta)} \times \frac{1}{2} = -1. \text{ Alors } m_{(\Delta)} = -2. \\ \text{L’équation est : } y = -2x + p. \\ \text{Comme } C(-1;3) \in (\Delta), \text{ alors : } 3 = -2(-1) + p. \\ \text{On obtient } 3 = 2 + p, \text{ donc } \mathbf{p = 1}. \\ \text{D’où : } \mathbf{(\Delta): y = -2x + 1}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Vérifions } D(1;-1) \in (\Delta) : \\ -2(1) + 1 = -1. \text{ Puisque } y_D = -1, \text{ alors } \mathbf{D \in (\Delta)}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Intersection avec l’axe des abscisses (y=0) :} \\ -2x + 1 = 0. \text{ Donc } -2x = -1, \text{ ce qui donne } \mathbf{x = \dfrac{1}{2}}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A) \\ \overrightarrow{AB}(-6 – 1 ; 1 – 2). \text{ On a : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(-7 ; -1)}. \\ \\ \text{Calcul de la distance } AB : \\ \text{Rappel: } AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2} \\ AB = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1}. \text{ D’où : } \mathbf{AB = 5\sqrt{2}}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \mathbf{a)} \, \text{Coordonnées de } M \text{ (parallélogramme ABCM) :} \\ \text{Rappel: } ABCM \text{ est un parallélogramme si } \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}. \\ \text{On a } \overrightarrow{MC}( -3 – x_M ; -3 – y_M). \\ \text{Par égalité avec } \overrightarrow{AB}(-7 ; -1) : \\ -3 – x_M = -7. \text{ Alors } -x_M = -4, \text{ donc } \mathbf{x_M = 4}. \\ -3 – y_M = -1. \text{ Alors } -y_M = 2, \text{ donc } \mathbf{y_M = -2}. \\ \text{Ce qui donne : } \mathbf{M(4 ; -2)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Coordonnées de } N, \text{ centre du parallélogramme :} \\ \text{Rappel: Le centre est le milieu de la diagonale } [AC]. \\ x_N = \dfrac{1 + (-3)}{2} = -1. \\ y_N = \dfrac{2 + (-3)}{2} = -0,5. \\ \text{D’où : } \mathbf{N(-1 ; -0,5)}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \mathbf{a)} \, \text{Equation réduite de } (AB) : \\ \text{Rappel: } m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} \\ m = \dfrac{1 – 2}{-6 – 1} = \dfrac{-1}{-7} = \mathbf{\dfrac{1}{7}}. \\ \text{Avec } A(1;2), \text{ on a : } 2 = \frac{1}{7}(1) + p. \\ \text{Alors } p = 2 – \frac{1}{7} = \mathbf{\frac{13}{7}}. \text{ Résultat : } \mathbf{y = \dfrac{1}{7}x + \dfrac{13}{7}}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Equation de } (D) \perp (AB) \text{ par } C(-3;-3) : \\ m_{(D)} \times \frac{1}{7} = -1. \text{ Donc } m_{(D)} = -7. \\ -3 = -7(-3) + p. \text{ Alors } -3 = 21 + p, \text{ d’où } \mathbf{p = -24}. \\ \mathbf{(D): y = -7x – 24}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Equation de } (D’) \parallel (D) \text{ par } O(0;0) : \\ \text{Rappel: Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.} \\ \text{On a } m_{(D’)} = -7. \text{ Comme elle passe par l’origine, } \mathbf{p = 0}. \\ \mathbf{(D’): y = -7x}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A) \\ \overrightarrow{AB}(5 – 2 ; 3 – (-1)) = \mathbf{\overrightarrow{AB}(3 ; 4)}. \\ \\ \text{Calcul de la distance } AB : \\ \text{Rappel: } AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}. \\ \text{D’où : } \mathbf{AB = 5}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \mathbf{a)} \, \text{Coordonnées de } M \text{ (parallélogramme ABCM) :} \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC} \\ \overrightarrow{MC}(1 – x_M ; 1 – y_M) = (3 ; 4). \\ 1 – x_M = 3. \text{ Alors } \mathbf{x_M = -2}. \\ 1 – y_M = 4. \text{ Alors } \mathbf{y_M = -3}. \\ \text{Ce qui donne : } \mathbf{M(-2 ; -3)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Coordonnées de } N, \text{ centre du parallélogramme :} \\ x_N = \dfrac{2 + 1}{2} = \mathbf{1,5}. \\ y_N = \dfrac{-1 + 1}{2} = \mathbf{0}. \\ \text{D’où : } \mathbf{N(1,5 ; 0)}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \mathbf{a)} \, \text{Equation réduite de } (AB) : \\ m = \dfrac{3 – (-1)}{5 – 2} = \mathbf{\dfrac{4}{3}}. \\ -1 = \frac{4}{3}(2) + p. \text{ Alors } p = -1 – \frac{8}{3} = \mathbf{-\frac{11}{3}}. \\ \text{Résultat : } \mathbf{y = \dfrac{4}{3}x – \dfrac{11}{3}}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Equation de } (D) \perp (AB) \text{ par } C(1;1) : \\ m_{(D)} = -1 / (4/3) = \mathbf{-\dfrac{3}{4}}. \\ 1 = -\frac{3}{4}(1) + p. \text{ Alors } p = 1 + \frac{3}{4} = \mathbf{\frac{7}{4}}. \\ \mathbf{(D): y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{4}}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Equation de } (D’) \parallel (AB) \text{ par } O(0;0) : \\ m_{(D’)} = m_{(AB)} = \frac{4}{3}. \text{ D’où : } \mathbf{y = \dfrac{4}{3}x}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \mathbf{a)} \, \text{Coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A) \\ \overrightarrow{AB}(-1 – 2 ; 3 – (-3)). \text{ Donc : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(-3 ; 6)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Calcul de la distance } AB : \\ \text{Rappel: } AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2} \\ AB = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36}. \text{ D’où : } \mathbf{AB = 3\sqrt{5}}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Milieu } M(0,5 ; 4) \text{ de } [BC] : \\ x_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \mathbf{0,5} \, \text{ et } \, y_M = \dfrac{3 + 5}{2} = \mathbf{4}. \\ \text{Donc } \mathbf{M} \text{ est le milieu de } [BC]. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Equation de } (AB) : \\ m = \dfrac{3 – (-3)}{-1 – 2} = \mathbf{-2}. \\ -3 = -2(2) + p \implies \mathbf{p = 1}. \\ \text{Résultat : } \mathbf{y = -2x + 1}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Perpendicularité de } (AB) \text{ et } (\Delta) : \\ \text{Rappel: } m \times m’ = -1. \\ -2 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{-1}. \text{ Donc } \mathbf{(AB) \perp (\Delta)}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{D’après le graphique: } A(2;-2), \, B(4;0), \, C(0;4) \text{ et } I \text{ est le milieu de } [BC]. \\ \\ \mathbf{1)} \, \mathbf{a)} \, \text{Vérifions les coordonnées des vecteurs:} \\ \text{Rappel: } \overrightarrow{V}(x_2-x_1 ; y_2-y_1). \\ \overrightarrow{AB}(4 – 2 ; 0 – (-2)) = \mathbf{(2 ; 2)}. \\ \overrightarrow{BC}(0 – 4 ; 4 – 0) = \mathbf{(-4 ; 4)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{En déduire que } AB = BI : \\ AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \mathbf{2\sqrt{2}}. \\ \text{Puisque } I \text{ est le milieu de } [BC], \text{ alors } BI = \frac{1}{2} BC. \\ BC = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. \\ \text{Donc } BI = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{2}}. \text{ Alors } \mathbf{AB = BI}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Montrons les équations réduites:} \\ \text{Pour } (BC): m = \dfrac{4-0}{0-4} = \mathbf{-1}. \text{ Puisque } C(0;4) \in (BC), \text{ alors } \mathbf{y = -x + 4}. \\ \text{Pour } (AB): m = \dfrac{0-(-2)}{4-2} = \dfrac{2}{2} = \mathbf{1}. \\ \text{Avec } B(4;0) : 0 = 1(4) + p \implies \mathbf{p = -4}. \text{ D’où } \mathbf{y = x – 4}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Perpendicularité:} \\ m_{(AB)} \times m_{(BC)} = 1 \times (-1) = \mathbf{-1}. \\ \text{Le produit est } -1, \text{ donc } \mathbf{(AB) \perp (BC)}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Montrons que } OABI \text{ est un carré:} \\ \text{On a } O(0;0) \, \text{et} \, I(2;2). \\ \text{Vecteurs: } \overrightarrow{OA}(2;-2) \, \text{et} \, \overrightarrow{IB}(4-2 ; 0-2) = (2;-2). \\ \text{Puisque } \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{IB}, \text{ alors } OABI \text{ est un parallélogramme.} \\ \text{On a } OA = \sqrt{2^2+(-2)^2} = 2\sqrt{2} \, \text{et} \, AB = 2\sqrt{2}. \\ \text{Puisque c’est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux } \\ \text{et perpendiculaires (car l’angle en } A \text{ est droit), alors c’est un } \mathbf{carré}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Déterminons l’équation réduite de la droite } (D) : \\ \text{L’équation est de la forme } y = mx + p. \\ \text{On sait que le coefficient directeur est } m = 3, \text{ donc } y = 3x + p. \\ \text{Comme } A(1;1) \in (D), \text{ alors ses coordonnées vérifient l’équation :} \\ 1 = 3(1) + p. \\ \text{Ce qui donne } 1 = 3 + p, \text{ alors } p = 1 – 3 = -2. \\ \text{D’où l’équation réduite : } \mathbf{(D): y = 3x – 2}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Vérifions que le point } B(3;7) \in (D) : \\ \text{On remplace } x \text{ par } 3 \text{ dans l’équation de } (D) : \\ y = 3(3) – 2 = 9 – 2 = 7. \\ \text{Puisque l’ordonnée de } B \text{ est } y_B = 7, \text{ alors } \mathbf{B(3;7) \in (D)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Calculons la distance } AB : \\ \text{Rappel : } AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}. \\ AB = \sqrt{(3 – 1)^2 + (7 – 1)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36}. \\ \text{Alors } AB = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10}. \\ \text{D’où : } \mathbf{AB = 2\sqrt{10}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Déterminons les coordonnées du point } M, \text{ milieu de } [AB] : \\ \text{Rappel : } x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \text{ et } y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}. \\ x_M = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2. \\ y_M = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4. \\ \text{Donc : } \mathbf{M(2 ; 4)}. \\ \\ \mathbf{4) \, a)} \, \text{Montrons que l’équation de } (\Delta) \text{ est } y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3} : \\ \text{On sait que } (\Delta) \perp (D). \text{ Donc le produit de leurs coefficients est } -1 : \\ 3 \times m_{(\Delta)} = -1, \text{ ce qui donne } m_{(\Delta)} = -1/3. \\ \text{L’équation est } y = -1/3x + p. \\ \text{Comme } N(-1;1) \in (\Delta), \text{ alors : } 1 = -1/3(-1) + p. \\ \text{Alors } 1 = 1/3 + p, \text{ donc } p = 1 – 1/3 = 2/3. \\ \text{D’où : } \mathbf{(\Delta): y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Déterminons les coordonnées du point } H : \\ \text{H est l’intersection de } (D) \text{ et } (\Delta). \text{ On résout l’équation :} \\ 3x – 2 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}. \\ \text{On multiplie tout par 3 : } 9x – 6 = -x + 2. \\ \text{Alors } 9x + x = 2 + 6, \text{ donc } 10x = 8, \text{ d’où } \mathbf{x_H = 0,8}. \\ \text{Calculons } y_H : y_H = 3(0,8) – 2 = 2,4 – 2 = 0,4. \\ \text{Les coordonnées sont donc : } \mathbf{H(0,8 ; 0,4)}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Calculons la distance } BC : \\ \text{Rappel : } BC = \sqrt{(x_C – x_B)^2 + (y_C – y_B)^2}. \\ BC = \sqrt{(2 – (-1))^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2}. \\ BC = \sqrt{9 + 1} = \mathbf{\sqrt{10}}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Déterminons les coordonnées du point } K : \\ \text{A est le milieu de } [KB], \text{ donc :} \\ x_A = \dfrac{x_K + x_B}{2} \implies 1 = \dfrac{x_K – 1}{2} \implies 2 = x_K – 1 \implies \mathbf{x_K = 3}. \\ y_A = \dfrac{y_K + y_B}{2} \implies 2 = \dfrac{y_K + 3}{2} \implies 4 = y_K + 3 \implies \mathbf{y_K = 1}. \\ \text{D’où : } \mathbf{K(3 ; 1)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Montrons que le coefficient directeur de } (AB) \text{ est } -1/2 : \\ m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \dfrac{3 – 2}{-1 – 1} = \dfrac{1}{-2} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}. \\ \text{Déduisons l’équation réduite de } (AB) : \\ y = -1/2x + p. \text{ Comme } A(1;2) \in (AB) : \\ 2 = -1/2(1) + p \implies 2 = -0,5 + p \implies p = 2 + 0,5 = 2,5. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(AB): y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Montrons que } (\Delta) \parallel (AB) : \\ \text{Rappel : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.} \\ \text{On a } m_{(\Delta)} = -1/2 \text{ et } m_{(AB)} = -1/2. \\ \text{Puisque } m_{(\Delta)} = m_{(AB)}, \text{ alors } \mathbf{(\Delta) \parallel (AB)}. \\ \text{Vérifions que } H(4;1) \in (\Delta) : \\ y = -1/2(4) + 3 = -2 + 3 = 1. \\ \text{Puisque } y_H = 1, \text{ alors } \mathbf{H(4;1) \in (\Delta)}. \\ \\ \mathbf{4) \, a)} \, \text{Equation de } (D) \perp (AB) \text{ au point } A : \\ \text{Rappel : } m \times m’ = -1. \\ -1/2 \times m_{(D)} = -1 \implies m_{(D)} = 2. \\ \text{L’équation est } y = 2x + p. \text{ Comme } A(1;2) \in (D) : \\ 2 = 2(1) + p \implies 2 = 2 + p \implies p = 0. \\ \text{D’où : } \mathbf{(D): y = 2x}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Déduisons que } (D) \text{ est la médiatrice de } [KB] : \\ \text{On sait que } (D) \perp (AB) \text{ et comme } K, A, B \text{ sont alignés, alors } (D) \perp (KB). \\ \text{Et puisque } (D) \text{ passe par } A \text{ qui est le milieu de } [KB], \\ \text{alors } (D) \text{ est la } \mathbf{médiatrice} \text{ du segment } [KB]. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Déterminons les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{EF} : \\ \text{Rappel : } \overrightarrow{EF}(x_F – x_E ; y_F – y_E). \\ \overrightarrow{EF}(3 – (-3) ; 3 – 1) = \overrightarrow{EF}(3 + 3 ; 2). \\ \text{D’où : } \mathbf{\overrightarrow{EF}(6 ; 2)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Calculons la distance } EF : \\ \text{Rappel : } EF = \sqrt{x_{\overrightarrow{EF}}^2 + y_{\overrightarrow{EF}}^2}. \\ EF = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}. \\ EF = \sqrt{4 \times 10}. \text{ Alors : } \mathbf{EF = 2\sqrt{10}}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Déterminons les coordonnées du milieu de } [EF] : \\ \text{Soit } M \text{ ce milieu. Rappel : } x_M = \dfrac{x_E + x_F}{2} \, , \, y_M = \dfrac{y_E + y_F}{2}. \\ x_M = \dfrac{-3 + 3}{2} = \dfrac{0}{2} = 0. \\ y_M = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2. \\ \text{D’où le milieu est le point : } \mathbf{(0 ; 2)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Vérifions l’équation réduite de } (EF) : \\ \text{Coefficient directeur } m = \dfrac{y_F – y_E}{x_F – x_E} = \dfrac{3 – 1}{3 – (-3)} = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}. \\ \text{L’équation est } y = \dfrac{1}{3}x + p. \text{ On utilise le milieu } (0;2) \text{ car il appartient à } (EF) : \\ 2 = \dfrac{1}{3}(0) + p \text{ alors } \mathbf{p = 2}. \\ \text{Résultat : } \mathbf{(EF): y = \dfrac{1}{3}x + 2}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Equation de } (D) \parallel (EF) \text{ passant par } G(2 ; -1) : \\ \text{Rappel : Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.} \\ \text{Donc } m_{(D)} = 1/3, \text{ d’où } y = 1/3x + p. \\ \text{Comme } G(2;-1) \in (D) : -1 = 1/3(2) + p. \\ -1 = 2/3 + p \implies p = -1 – 2/3 = -3/3 – 2/3 = -5/3. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D): y = \dfrac{1}{3}x – \dfrac{5}{3}}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Equation de } (D’) \perp (EF) \text{ passant par } G(2 ; -1) : \\ \text{Rappel : } m \times m’ = -1. \\ 1/3 \times m_{(D’)} = -1 \implies m_{(D’)} = -3. \\ \text{L’équation est } y = -3x + p. \\ \text{Comme } G(2;-1) \in (D’) : -1 = -3(2) + p. \\ -1 = -6 + p \implies p = -1 + 6 = 5. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D’): y = -3x + 5}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Déterminons les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AC} : \\ \text{Rappel : } \overrightarrow{AC}(x_C – x_A ; y_C – y_A). \\ \overrightarrow{AC}(-1 – 2 ; 3 – 1). \\ \text{D’où : } \mathbf{\overrightarrow{AC}(-3 ; 2)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Déterminons les coordonnées du point } D : \\ \text{Rappel : Si } \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \text{ alors } ABDC \text{ est un parallélogramme.} \\ \text{Calculons d’abord } \overrightarrow{AB} : \overrightarrow{AB}(5 – 2 ; 5 – 1) = (3 ; 4). \\ \text{Soit } \overrightarrow{AD}(x_D – 2 ; y_D – 1). \\ \text{On a } x_D – 2 = x_{\overrightarrow{AB}} + x_{\overrightarrow{AC}} = 3 + (-3) = 0. \text{ Donc } x_D = 2. \\ \text{Et } y_D – 1 = y_{\overrightarrow{AB}} + y_{\overrightarrow{AC}} = 4 + 2 = 6. \text{ Donc } y_D = 7. \\ \text{D’où : } \mathbf{D(2 ; 7)}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Montrons que } K(0,5 ; 2) \text{ est le milieu de } [AC] : \\ \text{Rappel : } x_K = \dfrac{x_A + x_C}{2} \, \text{et} \, y_K = \dfrac{y_A + y_C}{2}. \\ x_K = \dfrac{2 + (-1)}{2} = \dfrac{1}{2} = 0,5. \\ y_K = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2. \\ \text{Les coordonnées correspondent, donc } \mathbf{K} \text{ est le milieu de } [AC]. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Vérifions l’équation réduite de } (AC) : \\ \text{Coefficient directeur } m = \dfrac{y_C – y_A}{x_C – x_A} = \dfrac{3 – 1}{-1 – 2} = \mathbf{-\dfrac{2}{3}}. \\ \text{L’équation est } y = -2/3x + p. \text{ Avec } A(2;1) : \\ 1 = -2/3(2) + p. \\ 1 = -4/3 + p \, \text{alors} \, p = 1 + 4/3 = 3/3 + 4/3 = 7/3. \\ \text{Résultat : } \mathbf{(AC): y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{7}{3}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Equation de } (\Delta) \parallel (AC) \text{ passant par } B(5;5) : \\ \text{Rappel : Droites parallèles } \implies m’ = m = -2/3. \\ \text{L’équation est } y = -2/3x + p. \text{ Avec } B(5;5) : \\ 5 = -2/3(5) + p. \\ 5 = -10/3 + p \, \text{alors} \, p = 5 + 10/3 = 15/3 + 10/3 = 25/3. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(\Delta): y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{25}{3}}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Equation de } (D’) \text{ médiatrice de } [AC] : \\ \text{Rappel : La médiatrice est perpendiculaire à } (AC) \text{ et passe par son milieu } K. \\ m’ \times (-2/3) = -1 \, \text{alors} \, m’ = 3/2 = 1,5. \\ \text{L’équation est } y = 1,5x + p. \text{ Avec } K(0,5 ; 2) : \\ 2 = 1,5(0,5) + p. \\ 2 = 0,75 + p \, \text{alors} \, p = 2 – 0,75 = 1,25. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D’): y = 1,5x + 1,25}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Déterminons les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{Rappel : } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A). \\ \overrightarrow{AB}(3 – 1 ; 5 – 2). \\ \text{D’où : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(2 ; 3)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Calculons la distance } AB : \\ \text{Rappel : } AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2}. \\ AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9}. \\ \text{D’où : } \mathbf{AB = \sqrt{13}}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Déterminons les coordonnées du milieu de } [AB] : \\ \text{Soit } M \text{ ce milieu. Rappel : } x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \, , \, y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}. \\ x_M = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2. \\ y_M = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5. \\ \text{D’où le milieu est le point : } \mathbf{M(2 ; 3,5)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Vérifions l’équation réduite de } (AB) : \\ \text{Coefficient directeur } m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \dfrac{5 – 2}{3 – 1} = \mathbf{\dfrac{3}{2}}. \\ \text{L’équation est } y = \dfrac{3}{2}x + p. \text{ Avec } A(1;2) \in (AB) : \\ 2 = \dfrac{3}{2}(1) + p. \\ 2 = 1,5 + p \, \text{alors} \, p = 2 – 1,5 = 0,5 = \dfrac{1}{2}. \\ \text{Résultat : } \mathbf{(AB): y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Equation de la médiatrice de } [AB] : \\ \text{Rappel : La médiatrice est perpendiculaire à } (AB) \text{ et passe par son milieu } M(2 ; 3,5). \\ \text{Coefficient directeur } m’ : m’ \times \dfrac{3}{2} = -1 \, \text{alors} \, m’ = -\dfrac{2}{3}. \\ \text{L’équation est } y = -\dfrac{2}{3}x + p. \text{ Avec } M(2 ; 3,5) : \\ 3,5 = -\dfrac{2}{3}(2) + p. \\ \dfrac{7}{2} = -\dfrac{4}{3} + p \, \text{alors} \, p = \dfrac{7}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{21 + 8}{6} = \dfrac{29}{6}. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{29}{6}}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Equation de } (D) \parallel (AB) \text{ passant par } (1;2) : \\ \text{Rappel : Droites parallèles } \implies m_{(D)} = m_{(AB)} = 3/2. \\ \text{L’équation est } y = 3/2x + p. \text{ Avec le point } (1;2) : \\ 2 = 3/2(1) + p. \\ \text{On retrouve } p = 0,5. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D): y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}}. \\ \text{Remarque : } (D) \text{ est la même droite que } (AB) \text{ car le point donné est } A. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1) \, a)} \, \text{Déterminons les coordonnées du vecteur } \overrightarrow{AB} : \\ \text{On a } A(1 ; -3) \, \text{et} \, B(4 ; 1). \\ \text{Rappel : } \overrightarrow{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A). \\ \overrightarrow{AB}(4 – 1 ; 1 – (-3)) = \overrightarrow{AB}(4 – 1 ; 1 + 3). \\ \text{D’où : } \mathbf{\overrightarrow{AB}(3 ; 4)}. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Calculons la distance } AB : \\ \text{Rappel : } AB = \sqrt{x_{\overrightarrow{AB}}^2 + y_{\overrightarrow{AB}}^2}. \\ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}. \\ \text{D’où : } \mathbf{AB = 5}. \\ \\ \mathbf{c)} \, \text{Déterminons les coordonnées du milieu } M \text{ de } [AB] : \\ \text{Rappel : } x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \, \text{et} \, y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}. \\ x_M = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = \mathbf{2,5}. \\ y_M = \dfrac{-3 + 1}{2} = \dfrac{-2}{2} = \mathbf{-1}. \\ \text{D’où : } \mathbf{M(2,5 ; -1)}. \\ \\ \mathbf{2)} \, \text{Vérifions l’équation réduite de } (AB) : \\ \text{Coefficient directeur } m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \dfrac{1 – (-3)}{4 – 1} = \mathbf{\dfrac{4}{3}}. \\ \text{L’équation est de la forme } y = \dfrac{4}{3}x + p. \text{ Avec } A(1 ; -3) \in (AB) : \\ -3 = \dfrac{4}{3}(1) + p. \\ \text{Alors } p = -3 – \dfrac{4}{3} = \dfrac{-9 – 4}{3} = \mathbf{-\dfrac{13}{3}}. \\ \text{Résultat : } \mathbf{(AB): y = \dfrac{4}{3}x – \dfrac{13}{3}}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Equation de } (D) \perp (AB) \text{ passant par } B(4 ; 1) : \\ \text{Rappel : } m \times m’ = -1. \\ \dfrac{4}{3} \times m’ = -1 \, \text{alors} \, m’ = -\dfrac{3}{4} = \mathbf{-0,75}. \\ \text{L’équation est } y = -0,75x + p. \text{ Avec } B(4 ; 1) \in (D) : \\ 1 = -0,75(4) + p \, \text{donc} \, 1 = -3 + p. \\ \text{Alors } p = 1 + 3 = \mathbf{4}. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D): y = -0,75x + 4}. \\ \\ \mathbf{4)} \, \text{Equation de } (\Delta) \parallel (AB) \text{ passant par } N(3 ; 3) : \\ \text{Rappel : Droites parallèles signifie qu’elles ont le même coefficient directeur.} \\ \text{Alors } m’ = m = 4/3. \\ \text{L’équation est } y = 4/3x + p. \text{ Avec } N(3 ; 3) \in (\Delta) : \\ 3 = \dfrac{4}{3}(3) + p \, \text{donc} \, 3 = 4 + p. \\ \text{Alors } p = 3 – 4 = \mathbf{-1}. \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(\Delta): y = \dfrac{4}{3}x – 1}. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \mathbf{1)} \, \text{Vérifions l’équation réduite de la droite } (BC) : \\ \text{On a } B(4 ; 1) \, \text{et} \, C(2 ; 2). \\ \text{Coefficient directeur } m = \dfrac{y_C – y_B}{x_C – x_B} = \dfrac{2 – 1}{2 – 4} = \dfrac{1}{-2} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}. \\ \text{L’équation est de la forme } y = -\dfrac{1}{2}x + p. \\ \text{Comme } C(2 ; 2) \in (BC), \text{ alors ses coordonnées vérifient l’équation :} \\ 2 = -\dfrac{1}{2}(2) + p \, \text{donc} \, 2 = -1 + p. \\ \text{Alors } p = 2 + 1 = \mathbf{3}. \\ \text{D’où l’équation réduite : } \mathbf{(BC): y = -\dfrac{1}{2}x + 3}. \\ \\ \mathbf{2) \, a)} \, \text{Montrons que } M(3 ; 1,5) \text{ est le milieu de } [BC] : \\ \text{Rappel : } x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} \, \text{et} \, y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2}. \\ x_M = \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}. \\ y_M = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2} = \mathbf{1,5}. \\ \text{Les coordonnées correspondent bien, donc } \mathbf{M} \text{ est le milieu de } [BC]. \\ \\ \mathbf{b)} \, \text{Montrons que l’équation de la médiatrice } (D) \text{ est } y = 2x – \dfrac{9}{2} : \\ \text{La médiatrice } (D) \text{ est perpendiculaire à } (BC) \text{ et passe par son milieu } M(3 ; 1,5). \\ \text{Calcul du coefficient directeur } m’ : \\ \text{Rappel : } m’ \times m = -1 \, \text{donc} \, m’ \times (-1/2) = -1. \\ \text{On trouve } m’ = \mathbf{2}. \\ \text{L’équation est } y = 2x + p. \text{ Comme } M(3 ; 1,5) \in (D) : \\ 1,5 = 2(3) + p \, \text{donc} \, 1,5 = 6 + p. \\ \text{Alors } p = 1,5 – 6 = \mathbf{-4,5} \text{ (soit } -9/2). \\ \text{L’équation est : } \mathbf{(D): y = 2x – 4,5}. \\ \\ \mathbf{3)} \, \text{Déterminons l’équation de } (\Delta) \parallel (D) \text{ passant par } A(2 ; -1) : \\ \text{Puisque } (\Delta) \parallel (D), \text{ alors elles ont le même coefficient directeur :} \\ m_{(\Delta)} = m_{(D)} = \mathbf{2}. \\ \text{L’équation est } y = 2x + p. \text{ Comme } A(2 ; -1) \in (\Delta) : \\ -1 = 2(2) + p \, \text{donc} \, -1 = 4 + p. \\ \text{Alors } p = -1 – 4 = \mathbf{-5}. \\ \text{L’équation réduite est : } \mathbf{(\Delta): y = 2x – 5}. \end{array} $$